Strona domowa Ludzie Seminaria English

2017-05-30 Seminarium nieliniowe

Jacek Gulgowski
Rozwiązania o ograniczonym wahaniu zagadnień Sturma-Liouville'a

W ogólnej formie zagadnienia Sturm-Liouville'a postawić można w następujący sposób:

\begin{displaymath} 
\begin{cases}
(p(t)x\prime (t))\prime +q(t)x(t)=h(t)\quad \text{dla p.w. } t \in (0,1),\\
a_0x(0)+b_0x\prime (0)=0,\\
a_1x(1)+b_1x \prime (1)=0,
\end{cases}
 \end{displaymath} (1)

gdzie $$ a_0,a_1,b_0,b_1 \in \mathbb R $$ są odpowiednimi stałymi.

Przy naturalnych założeniach obejmujących $$ p>0 $$, $$ 1/p,q\in L^1(0,1) $$, otrzymujemy istnienie i jednoznaczność rozwiązań klasy $$ C^1[0,1] $$ tego zagadnienia. Okazuje się jednak, że osłabiając założenia na funkcje $p$ oraz $$ q $$, uzyskać można w dalszym ciągu dobrze postawione zagadnienia (tzw. osobliwe zagadnienia Sturma-Liouville'a), dla których uzyskujemy istnienie rozwiązań z przestrzeni $$ C^1(0,1) $$. W tej sytuacji zasadne jest pytanie o to, czy uzyskane rozwiązania są funkcjami o ograniczonym wahaniu. Postaramy się podać warunki, przy których rozwiązania rozpatrywanego zagadnienia są funkcjami o ograniczonym wahaniu.