Optimization and Control Theory Department: 2017-05-30 Seminarium nieliniowe

Jacek Gulgowski
Rozwiązania o ograniczonym wahaniu zagadnień Sturma-Liouville'a

W ogólnej formie zagadnienia Sturm-Liouville'a postawić można w następujący sposób:

$\begin{displaymath} \begin{cases} (p(t)x\prime (t))\prime +q(t)x(t)=h(t)\quad \text{dla p.w. } t \in (0,1),\\ a_0x(0)+b_0x\prime (0)=0,\\ a_1x(1)+b_1x \prime (1)=0, \end{cases} \end{displaymath}$ (1)
gdzie $a_0,a_1,b_0,b_1 \in \mathbb R$ są odpowiednimi stałymi.

Przy naturalnych założeniach obejmujących $p>0$ , $1/p,q\in L^1(0,1)$ , otrzymujemy istnienie i jednoznaczność rozwiązań klasy $C^1[0,1]$ tego zagadnienia. Okazuje się jednak, że osłabiając założenia na funkcje $p$ oraz $q$ , uzyskać można w dalszym ciągu dobrze postawione zagadnienia (tzw. osobliwe zagadnienia Sturma-Liouville'a), dla których uzyskujemy istnienie rozwiązań z przestrzeni $C^1(0,1)$ . W tej sytuacji zasadne jest pytanie o to, czy uzyskane rozwiązania są funkcjami o ograniczonym wahaniu. Postaramy się podać warunki, przy których rozwiązania rozpatrywanego zagadnienia są funkcjami o ograniczonym wahaniu.