dr Przemysław Chełminiak
Co łączy komórkę biologiczną z ułamkowym równaniem dyfuzji?
Obserwacja pojedynczych cząsteczek w żywych komórkach biologicznych stała się obecnie możliwa dzięki zastosowaniu nowej techniki obrazowania zwanej spektroskopią pojedynczej molekuły. Co ciekawe, dyfuzja nanocząsteczek, takich jak białka, kwasy nukleinowe, czy też półgiętkie włókna polimerowe w obrębie zatłoczonego wnętrza komórki biologicznej jest wolniejsza od zwyczajnej dyfuzji brownowskiej cząsteczek o rozmiarach mikrometrów zawieszonych w środowisku wodnym. Miarą ich rozprzestrzeniania się wewnątrz komórki jest uśredniony po czasie lub zespole statystycznym cząsteczek kwadrat przebytej odległości, który w tym przypadku nie wzrasta liniowo z czasem. Ponadto, obie procedury uśredniania różnią się od siebie, kiedy czas obserwacji pojedynczej cząsteczki staje się o wiele dłuższy od charakterystycznej skali czasowej samego procesu dyfuzji. W związku z tym przypadkowy ruch cząsteczek w komórce nie może być postrzegany jako zwykły ruchu Browna, lecz musi być rozważany w kategoriach dyfuzji anomalnej (subdyfuzji). Z formalnego punktu widzenia proces ten może być opisany w ramach szeroko stosowanego modelu błądzenia przypadkowego z ciągłym czasem. Zastosujemy tą metodę w celu wyprowadzenia ułamkowego równania Fokkera-Plancka będącego odpowiednikiem równania dyfuzji anomalnej w potencjale sił zewnętrznych blisko równowagi termicznej. Wykorzystując znane metody rachunku różniczkowego pochodnych ułamkowych znajdziemy kilka szczególnych rozwiązań tego równania różniczkowego cząstkowego i pokażemy, że średniokwadratowa odległość przebyta przez anomalnie dyfundujące cząsteczki skaluje się z czasem według prawa potęgowego.