Home page People Seminars Polski

2012-11-06 Seminarium nieliniowe

Seminarium odbędzie się o godzinie 8:30 w Sali Posiedzeń Rady Wydziału (A1-33/34)

Justyna Signerska
Analiza modelu neuronu z prawie okresową funkcją wejścia.

Rozważmy układ typu integrate-and-fire $$ \dot{x}=F(t,x) $$, $$ F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} $$, w którym ciągła dynamika jest zaburzona w następujący sposób: $$ \lim_{t\to s^+}x(t)=x_r $$ jeśli $$ x(s)=x_{\Theta} $$, tj. jeśli zmienna dynamiczna $$ x(t) $$ osiąga pewną ustaloną wartość progową $$ x=x_{\Theta} $$, jest natychmiast ,,resetowana do wartości spoczynkowej $$ x_r $$ i układ ewoluuje od nowa zgodnie z równaniem różniczkowym itd. Pytanie: W jaki sposób opisać szereg czasowy kolejnych resetowań (ang. spikes) $$ t_n $$ jako kolejne iteracje $$ \Phi^n(t_0) $$ pewnego odwzorowania $$ \Phi:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $$, zwanego firing map, a ciąg interspike-intervals/ $$ t_n-t_{n-1} $$ jako ciąg przemieszczeń $$ \Phi^n(t_0)-\Phi^{n-1}(t_0) $$ wzdłuż trajektorii tego odwzorowania? Problem ten pojawia się m.in. w modelowaniu aktywności komórek nerwowych.

Jednakże dotychczas właściwości firing map były badane analitycznie jedynie przy założeniu, że funkcja $$ F $$ jest dostatecznie gładka i często także okresowa względem zmiennej $$ t $$. My prezentujemy pełny opis własności firing map dla najpopularniejszych modeli $$ \dot{x}=-\sigma x+f(t) $$ (tzw. Leaky Integrate-and-Fire) oraz $$ \dot{x}=f(t) $$ (tzw. Perfect Integrator), gdzie funkcja $$ f $$ jest jedynie lokalnie całkowalna i/lub prawie okresowa. W szczególności okazuje się, że $$ f $$ prawie okresowa w sensie Stepanova daje firing map $$ \Phi $$ z przemieszczeniem $$ \Phi-\textrm{Id} $$ prawie okresowym w sensie Bohra, co stanowi wstęp do formalnej analizy ciągu interspike-intervals w przypadku prawie okresowym.